最大子序列

在 给出线性算法之前，先来看一个对穷举算法进行优化的算法，它的算法复杂度为O(n^2)。其实这个算法只是对对穷举算法稍微做了一些修改：其实子序列的和 我们并不需要每次都重新计算一遍。假设Sum(i, j)是A[i] ... A[j]的和，那么Sum(i, j+1) = Sum(i, j) + A[j+1]。利用这一个递推，我们就可以得到下面这个算法：

int max_sub(int a[],int size)
{
     int i,j,v,max=a[0];
     for(i=0;i<size;i++)
     {
          v=0;
          for(j=i;j<size;j++)
          {
               v=v+a[j];//Sum(i, j+1) = Sum(i, j) + A[j+1]
               if(v>max)
                    max=v;
          }
     }
     return max;
}

那怎样才能达到线性复杂度呢？这里运用动态规划的思想。先看一下源代码实现：

int max_sub2(int a[], int size)
{
     int i,max=0,temp_sum=0;
     for(i=0;i<size;i++)
     {
          temp_sum+=a[i];
          if(temp_sum>max)
               max=temp_sum;
          else if(temp_sum<0)
               temp_sum=0;
     }
     return max;
}

在这一遍扫描数组当中，从左到右记录当前子序列的和temp_sum，若这个和不断增加，那么最大子序列的和max也不断增加(不断更新max)。 如果往前扫描中遇到负数，那么当前子序列的和将会减小。此时temp_sum 将会小于max，当然max也就不更新。如果temp_sum降到0时，说明前面已经扫描的那一段就可以抛弃了，这时将temp_sum置为0。然后， temp_sum将从后面开始将这个子段进行分析，若有比当前max大的子段，继续更新max。这样一趟扫描结果也就出来了。