求最大公约数九法

湖南省武冈市教研室 周定武

　　一、观察法．

　　运用能被2、3、5整除的数的特征进行观察．

　　例如，求225和105的最大公约数．因为225、105都能被3和5整除，所以225和105至少含有公约数（3×5）15．因为225÷15＝15，105÷15＝7．15与7互质，所以225和105的最大公约数是15．

　　二、查找约数法．
先分别找出每个数的所有约数，再从两个数的约数中找出公有的约数，其中最大的一个就是最大公约数．

　　例如，求12和30的最大公约数．
12的约数有：1、2、3、4、6、12；
30的约数有：1、2、3、5、6、10、15、30．
12和30的公约数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公约数．

　　三、分解因式法．

　　先分别把两个数分解质因数，再找出它们全部公有的质因数，然后把这些公有质因数相乘，得到的积就是这两个数的最大公约数．

　　例如：求125和300的最大公约数．因为125＝5×5×5，300＝2×2×3×5×5，所以125和300的最大公约数是5×5＝25．

　　四、关系判断法．

　　当两个数关系特殊时，可直接判断两个数的最大公约数．例如，两个数互质时，它们的最大公约数就是这两个数的乘积；两个数成倍数关系时，它们的最大公约数就是其中较小的那个数．

　　五、短除法．

　　为了简便，将两个数的分解过程用同一个短除法来表示，那么最大公约数就是所有除数的乘积．

　　例如：求180和324的最大公约数．

　　因为：

　　5和9互质，所以180和324的最大公约数是4×9＝36．

　　六、除法法．

　　当两个数中较小的数是质数时，可采用除法求解．即用较大的数除以较小的数，如果能够整除，则较小的数是这两个数的最大公约数．

　　例如：求19和152，13和273的最大公约数．因为152÷19＝8，273÷13＝21．（19和13都是质数．）所以19和152的最大公约数是19，13和273的最大公约数是13．

　　七、缩倍法．

　　如果两个数没有之间没有倍数关系，可以把较小的数依次除以2、3、4……直到求得的商是较大数的约数为止，这时的商就是两个数的最大公约数．例如：求30和24的最大公约数．24÷4＝6，6是30的约数，所以30和24的最大公约数是6．

　　 八、求差判定法．

　　如果两个数相差不大，可以用大数减去小数，所得的差与小数的最大公约数就是原来两个数的最大公约数．例如：求78和60的最大公约数．78－60＝18，18和60的最大公约数是6，所以78和60的最大公约数是6．

　　
如果两个数相差较大，可以用大数减去小数的若干倍，一直减到差比小数小为止，差和小数的最大公约数就是原来两数的最大公约数．例如：求92和16的最大公约数．92－16＝76，76－16＝60，60－16＝44，44－16＝28，28－16＝12，12和16的最大公约数是4，所以92和16的最大公约数就是4．

　　九、辗转相除法．

　　当两个数都较大时，采用辗转相除法比较方便．其方法是：

　　以小数除大数，如果能整除，那么小数就是所求的最大公约数．否则就用余数来除刚才的除数；再用这新除法的余数去除刚才的余数．依此类推，直到一个除法能够整除，这时作为除数的数就是所求的最大公约数．

　　例如：求4453和5767的最大公约数时，可作如下除法．

　　5767÷4453＝1余1314

　　4453÷1314＝3余511

　　1314÷511＝2余292

　　511÷292＝1余219

　　292÷219＝1余73

　　219÷73＝3

　　于是得知，5767和4453的最大公约数是73．

　　辗转相除法适用比较广，比短除法要好得多，它能保证求出任意两个数的最大公约数．

int?GetGCDRec(int?n,?int?m)
{
????if?(m?<?n)
????{
????????m?^=?n;
????????n?^=?m;
????????m?^=?n;
????}

????if?(n?==?0)
????????return?m;
????else
????????return?GetGCDRec(n,?m?%?n);
}

辗转相除法，求一个数组中所有数的最大公约数

int?GetGCD(int?*arr,?int?len)
{
????int?iMax?=?arr[0],?iCurr,?iRemainder;

????for(int?i?=?1;?i?<?len;?i++)
????{
????????iCurr?=?arr[i];

????????if?(iMax?<?iCurr)
????????{
????????????iMax?^=?iCurr;
????????????iCurr?^=?iMax;
????????????iMax?^=?iCurr;
????????}

????????iRemainder?=?iMax?%?iCurr;

????????while?(iRemainder)
????????{
????????????iMax?=?iCurr;
????????????iCurr?=?iRemainder;
????????????iRemainder?=?iMax?%?iCurr;
????????}
????????
????????iMax?=?iCurr;
????}//for

????return?iMax;

}

最小公倍数就是乘积除以最大公约数

int?GetLCM(int?*arr,?int?len)
{
????int?multiple?=?1;

????for?(int?i?=?0;?i?<?len;?i++)
????????multiple?*=?arr[i];

????return?multiple?/?GetGCD(arr,?len);
}

?