排列组合公式

复习排列与组合

　　考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。
　　考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。
　　　　　　　 2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。
　　重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。
　　难点：不重不漏。
　　知识要点及典型例题分析：
　　1．加法原理和乘法原理
　　两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。
　　例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。
　　（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
　　（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
　　（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。
　　解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。
　　（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。
　　（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。
　　例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？
　　分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。”
　　因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=5³（种）。
　　2．排列数与组合数的两个公式
　　排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。
　　　　　　　连乘积的形式　　　　　 阶乘形式
　　A_n^m=n(n-1)(n-2)……(n-m+1) =
　　C_n^m=

　　例3．求证：A_n^m+mA_n^m-1=A_n+1^m

　　证明：左边=
　　　　　　　
　　　　∴ 等式成立。

　　评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质：n!(n+1)=(n+1)!可使变形过程得以简化。
　　例4．解方程.
　　解：原方程可化为：
　　　　 　解得x=3。

　　评述：解由排列数与组合数形式给出的方程时，在脱掉排列数与组合数的符号时，要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元素之间的关系以及它们都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前。
　　3．排列与组合的应用题
　　历届高考数学试题中，排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某些限制条件；或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容和情景是多种多样的，而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法两种。
　　一般方法有：直接法和间接法。
　　（1）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分类法；若问题考虑先后次序，据乘法原理，可用占位法。
　　（2）间接法一般用于当问题的反面简单明了，据A∪=I且A∩ = 的原理，采用排除的方法来获得问题的解决。
　　特殊方法：
　　（1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。
　　（2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。
　　（3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进行排列。
　　（4）其它方法。
　　例5．7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。
　　（1）甲排中间；　（2）甲不排两端；（3）甲，乙相邻；
　　（4）甲在乙的左边（不要求相邻）； （5）甲，乙，丙连排；
　　（6）甲，乙，丙两两不相邻。
　　解：（1）甲排中间属“特元特位”，优先安置，只有一种站法，其余6人任意排列，故共有：1×=720种不同排法。
　　（2）甲不排两端，亦属于“特元特位”问题，优先安置甲在中间五个位置上任何一个位置则有种，其余6人可任意排列有 种，故共有 · =3600种不同排法。
　　（3）甲、乙相邻，属于“捆绑法”，将甲、乙合为一个“元素”，连同其余5人共6个元素任意排列，再由甲、乙组内排列，故共有 ·=1400种不同的排法。
　　（4）甲在乙的左边。考虑在7人排成一行形成的所有排列 中：“甲在乙左边”与“甲在乙右边”的排法是一一对应的，在不要求相邻时，各占所有排列的一半，故甲在乙的左边的不同排法共有 =2520种。
　　（5）甲、乙、丙连排，亦属于某些元素必须在一起的排列，利用“捆绑法”，先将甲、乙、丙合为一个“元素”，连同其余4人共5个“元素”任意排列，现由甲、乙、丙交换位置，故共有· =720种不同排法。
　　（6）甲、乙、丙两两不相邻，属于某些元素必须不在一起的分离排列，用“插空法”，先将甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”。再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，故共有·=1440种不同的排法。
　　例6．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：
　　（1）奇数；（2）5的倍数；（3）比20300大的数；（4）不含数字0，且1，2不相邻的数。
　　解：（1）奇数：要得到一个5位数的奇数，分成3步，第一步考虑个位必须是奇数，从1，3，5中选出一个数排列个位的位置上有 种；第二步考虑首位不能是0，从余下的不是0的4个数字中任选一个排在首位上有种；第三步：从余下的4个数字中任选3个排在中间的3个数的位置上，由乘法原理共有 =388（个）。
　　（2）5的倍数：按0作不作个位来分类
　　第一类：0作个位，则有=120。
　　第二类：0不作个位即5作个位，则 =96。
　　则共有这样的数为： + =216（个）。
　　（3）比20300大的数的五位数可分为三类：
　　第一类：3xxxx, 4xxxx, 5xxxx有3个；
　　第二类：21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx, 的4个；
　　第三类：203xx, 204xx, 205xx, 有3个，
　　因此，比20300大的五位数共有：3+4 +3 =474（个）。
　　（4）不含数字0且1，2不相邻的数：分两步完成，第一步将3，4，5三个数字排成一行；第二步将1和2插入四个“空”中的两个位置，故共有=72个不含数字0，且1和2不相邻的五位数。
　　例7．直线与圆相离，直线上六点A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆，圆上四点B₁，B₂，B₃，B₄，任两点连成直线，问所得直线最多几条？最少几条？
　　解：所得直线最多时，即为任意三点都不共线可分为三类：
　　第一类为已知直线上与圆上各取一点连线的直线条数为=24；
　　第二类为圆上任取两点所得的直线条数为=6；
　　第三类为已知直线为1条，则直线最多的条数为N₁= ++1=31（条）。
　　所得直线最少时，即重合的直线最多，用排除法减去重合的字数较为方便，而重合的直线即是由圆上取两点连成的直线，排除重复，便是直线最少条数：N₂=N₁-2=31-12=19（条）。

解排列组合问题的策略

　　要正确解答排列组合问题，第一要认真审题，弄清楚是排列问题还是组合问题、还是排列与组合混合问题；第二要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理，做到不重不漏；第三要计算正确。下面将通过对若干例题的分析，探讨解答排列组合问题的一些常见策略，供大家参考。
　　一、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略
　　对于带有特殊元素的排列问题，一般应先考虑特殊元素、特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，也就是解题过程中的一种主元思想。
　　例1　用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（　 ）
　　A．24个　 B．30个　 C．40个　 D．60个
　　解：因组成的三位数为偶数，末尾的数字必须是偶数，又0不能排在首位，故0是其中的“特殊”元素，应优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分为两类：①当0排在末尾时，有 个；②当0不排在末尾时，三位偶数有 个，据加法原理，其中偶数共有 + =30个，选B。
　　若含有两个或两个以上的特殊位置或特殊元素，则应使用集合的思想来考虑。这里仅举以下几例：
　　(1)无关型(两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集)
　　例2　用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数?
　　解：由题意可知，两个特殊位置在首位和末位，特殊元素是“0，首位可取元素的集合A={1，2，3，4，5}，末位可取元素的集合B={0}，A∩B= 。如图1所示。
　　　　　　　　　　　　　
　　末位上有 种排法，首位上有 种不同排法，其余位置有 种不同排法。所以，组成的符合题意的六位数是 =120(个)。

　　说明：这个类型的题目，两个特殊位置上所取的元素是无关的。先分别求出两个特殊位置上的排列数(不需考虑顺序)，再求出其余位置上的排列数，最后利用乘法原理，问题即可得到解决。
　　(2)包合型(两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系)
　　例3　用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数?
　　解：由题意可知，首位、末位是两个特殊位置，“0”是特殊元素，首位可取元素的集合
A={1，2，3，4，5}，末位可取元素的集合B={5}，B A，用图2表示。
　　　　　　　　　　　　　　　
　　末位上只能取5，有 种取法，首位上虽然有五个元素可取但元素5已经排在末位了，故只有 种不同取法，其余四个位置上有 种不同排法，所以组成的符合题意的六位数有 =96(个)。
　　说明：这个类型的题目，两个特殊位置上所取的元素组成的集合具有包含关系，先求被包合的集合中的元素在特殊位置上的排列数，再求另一个位置上的排列数，次求其它位置上排列数，最后利用乘法原理，问题就可解决。
　　(3)影响型(两个特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。这类题型在高考中比较常见。)
　　例4　用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有多少个?
　　解：由题意可知，首位和百位是两个特殊位置，“3”是特殊元素。首位上可取元素的集合 A={2，3，4，5}，百位上可取元素的集合B={1，2，4，5}。用图3表示。
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　从图中可以看出，影响型可分成无关型和包含型。①首先考虑首位是3的五位数共有： 个；②再考虑首位上不是3的五位数，由于要比20000大，∴首位上应该是2、4、5中的任一个， 种选择；其次3应排在千位、十位与个位三个位置中的某一个上， 种选择，最后还有三个数、三个位置，有 种排法，于是首位上不是3的大于20000的五位数共有个 。
　　综上①②，知满足题设条件的五位数共有： + =78个。
　　二、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略
　　解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事件发生的连贯过程分步，做到分类标准明确、分步层次清楚，不重不漏。
　　例5　平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有________个。
　　简析：按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步．先在4条平行线中任取两条，有 种取法；第二步再在5条平行线中任取两条，有 种取法。这样取出的四条直线构成一个矩形，据乘法原理，构成的矩形共有· =60个。
　　例6　在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少?
　　解：依题意，共线的三点组可分为三类：两端点皆为顶点的共线三点组共有 =28(个)；两端点皆为面的中心的共线三点组共有 =3(个)；两端点皆为各棱中点的共线三点组共有 =18(个)。
　　所以总共有28+3+18=49个。
　　例7　某种产品有4只次品和6只正品(每只产品均可区分)。每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止。求第4只次品在第五次被发现的不同情形有多少种?
　　解：先考虑第五次测试的产品有4种情况，在前四次测试中包含其余的3只次品和1只正品，它们排列的方法数是6 。依据乘法原理得所求的不同情形有4×6 =576种。
　　有些排列组合问题元素多，取出的情况也有多种，对于这类问题常用的处理方法是：可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后计算总和。
　　例8　由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复的6位数，其中个位数字小于十位数字的共有 （　 ）
　　A、210个　　B、300个　　C、464个　　D、600个
　　分析：按题意个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，符合题的分别有 ， ， ，， 个。
　　合并总计，共有 + + + + =300(个)。
　　故选B。　　
　　说明：此题也可用定序问题缩位法求解，先考虑所有6位数： 个，因个位数字须小于个位数字，故所求6位数有( )/ =300(个)。
　　处理此类问题应做到不重不漏，即每两类的交集为空集，所有类的并集为合集，因此要求合理分类。
　　例9　已知集合A和集合B各含12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面的两个条件的集合C的个数：
　　(1)C A∪B，且C中含有3个元素；
　　(2)C∩A≠ （ 表示空集)。
　　分析：由题意知，属于集合B而不属于集合A元素个数为12-4=8，因此满足条件(1)、(2)的集合C可分为三类：
　　第一类：含A中一个元素的集C有 个；
　　第二类：含A中二个元素的集C有 个；
　　第三类：含A中三个元素的集C有